Soptq

很久很久以前，當計算機還不普及的時候，對一個複雜函數的求導一定是眾多學者的噩夢之一。試想，也許面對一個三元多項式函數時，你還可以遊刃有餘地對每一個變量求導數，但當函數被拓展到成千上萬元、成千上萬項的時候，你還有信心求的出來導嗎？於是，隨著計算機的普及，自動求導算法的提出幫助眾多學者從大型函數的求導中解放了出來。

深度學習的反向傳播也是一個典型的自動求導過程，而作為 pytorch 魔法力量的核心 Autograd，一定也被很多人好奇過其實現的原理。在本篇文章中，我將向大家解釋一個最為簡單的自動求道例子，希望可以抛磚引玉，啟發大家。

自動求道的原理#

每一個人在大一學習高等數學時，一定都聽說過一個名詞：鏈式法則。鏈式法則的數學表示如下：

$\frac {du} {dx}=\frac {du} {dy}\cdot \frac {dy} {dx}$

可以看到， $u$ 是包含了 $y$ 的函數， $y$ 是包含了 $x$ 的函數，那麼為了求到 $u$ 對 $x$ 的導數， 我們可以先求 $u$ 對 $y$ 的導數 $\frac{du}{dy}$， 然後求 $y$ 對 $x$ 的導數 $\frac{dy}{dx}$ ，最後把兩個導數相乘就算出了我們想要的結果。

有人說，反向傳播就是鏈式法則的另外一個花哨的名字。確實，這其實就是自動求導的核心。鏈式法則告訴我們，面對一個複雜的函數，我們若是可以把它拆分為一節一節簡單的函數原子複合起來的結果，那我們對每一個簡單的函數原子求導，最後把導數乘起來就可以得到複雜函數的結果。那麼，深度學習最基礎的神經元， $y = wx + b$ 是不是就是一個簡單的原子？

所以，自動求導和思路也就清晰了。我們通過前向傳播記錄每一個變量到最終函數的路徑，然後我們沿著這條路徑從函數返回，就可以得到函數對該變量的導數了。

利用二叉樹設計一個自動求導機#

在本部分我們將利用二叉樹設計一個最簡單的自動求導機。我們假設對一個簡單的函數求導：

$z=3x^{2}+5x+\lg y$

將算式轉換為後綴表達式#

上述函數為一個中綴表達式。中綴表達式是一種方便人類認知的表達式，但其不方便計算機讀取。為了讓計算機得到這個函數的解析樹，我們需要先使用調度場算法將函數從中綴表達式轉換為後綴表達式。

將後綴表達式轉換為解析樹#

將後綴表達式轉換為解析樹就是一個非常簡單的過程了，我們只需要對後綴表達式作一次遍歷即可。遍歷的規則如下：

• 當讀取到的不為運算符時，將讀取的字符作為解析樹的一個節點存入棧內。
• 當讀取到的為運算符時，將讀取的字符作為解析樹的一個節點，取出棧頂的兩個節點作為其的左右子節點，然後存入棧內。

例如我們有一個表達式為 $3+4\times \frac {2} {\left( 1-5\right) ^{2^{3}}}$ ，他所對應的後綴表達式為：

於是我們構建解析樹的過程如下：

代碼大概是這樣的

struct ParseTree{
	string data; // 存的數據
	int result = -1; // 子樹計算的結果
	int diff = -1; // 自動求導值
	struct ParseTree* left = nullptr;
	struct ParseTree* right = nullptr;
};

ParseTree* parse(){
	for (int I = 0; I < o_vector.size(); I++){
		if (isOperator(o_vector[I])) {
			ParseTree* s1 = parse_stack.top();
			parse_stack.pop();
			ParseTree* s2 = parse_stack.top();
			parse_stack.pop();
			ParseTree* parseNode = new ParseTree();
			parseNode->data = o_vector[I];
			parseNode->left = s1;
			parseNode->right = s2;
			parse_stack.push(parseNode);
		} else {
			ParseTree* parseLeaf = new ParseTree();
			parseLeaf->data = o_vector[I];
			parse_stack.push(parseLeaf);
		}
	}
	return parse_stack.top();
}

正向傳播#

我們得到的解析樹之後，根節點就相當於是函數本身，內節點相當於是每一個計算符號，葉節點相當於每一個變量。正向傳播的過程，實際就是從葉節點開始，經過每一個內節點最後計算到根節點的過程。由於二叉樹的特點，每一個節點只有兩個字節點，也就是說每一次內節點只會涉及一個符號，兩個變量。所以整個正向傳播過程就是從根節點的一個遞歸過程。

int calculate(ParseTree* head) {
	if (head->left != nullptr || head->right != nullptr) { // head is a node
		head->result =node_calculate((head->data)[0], calculate(head->left), calculate(head->right)); // node_calculate() is a function to calculate the result
		return head->result;
	}
	return stoi(head->data);
}

反向傳播#

我們正向傳播後，每一個內節點，儘管其可能包含的是一個運算符號，它也存儲了以它為根節點的子樹的運算結果。所以當對它的父節點作運算時，可以將它看作一個數字。所以方向傳播的過程就變成了從根節點開始的，每一次算字節點的導數，最後導數累加的過程。這個過程希望讀者可以自己來實現代碼。

當讀者實現完這個部分的代碼後，一段完整的自動求導代碼也就完成了。